Ecuaciones cuadráticas. Definición: Una ecuación cuadrática en forma general es una ecuación de la forma
\begin{align}ax^2+bx+c=0\end{align}
donde \(a,\ b,\) y \(~c~~\in\mathbb{R} \land\ a\neq0\) si \(a=0\) la ecuación es lineal.
Si \(b=0\) la ecuación se transforma en \(ax^2+c=0\).
Si \(c=0\) la ecuación se transforma en \(ax^2+bx=0\)
Ambas formas son llamadas ecuaciones cuádricas incompletas.
Raíces de una ecuación cuadrática.
Las raíces o ceros de una ecuación cuadrática son los valores que hacen la ecuación verdadera, para este fin, los métodos más usado son factorización y fórmulas, aunque se pueden utilizar también el método gráfico, la regla de Ruffini para algunos casos, entre otros métodos, por su simpicidad factorización y el uso de fórmula son las estrategias más usadas y del teorema fundamental del álgebra se tiene que, toda ecuación cuadrática tiene exactamente dos raíces, las cuales están determinadas por el valor del discriminante de la ecuación, que es la expresión \(b^2-4ac\) representado la letra griega delta \(\Delta\) de donde la naturaleza de las raíces de la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) es como sigue:
Si \(b^2-4ac=0\) las raíces son reales e iguales.
Si \(b^2-4ac>0\) las raíces son reales y distintas.
Si \(b^2-4ac< 0\) las raíces son complejas conjugadas.
Ejemplo 1. Determinar las naturaleza de la raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
\(a) \ 2x^2+4x+2 \ \ \ b) \ 2x^2+3x-5 \ \ \ c) \ x^2+x+1.\) Solución: examinando en cada caso el discriminante \(\Delta=b^2-4ac\) se tiene,
\(a) \ 4^2-4(2)(2)=0\) por tanto, las raíces son reales e iguales (un valor repitido).
\(b) \ 3^2-4(2)(-5)=49\) por tanto, las raíces son reales y distintas.
\(c) \ 1^2-4(1)(1)=-2\) por tanto, las raíces son imaginarias y conjugadas.
Otros dos aspectos fundamentales más relacionados al discriminante de \(ax^2+bx+c=0.\) que se deben analizar antes de proceder a la resolución son: 1. Si \(b^2-4ac\) es un número irracional, las raíces son irracionales y conjugadas, esto es, si \(r_1=m+\sqrt n\) es raíz, también lo es, \(r_2=m-\sqrt n\) y se dejan expresadas (no intentar convertir a decimal) ya que un número irracional no tiene una representación decimal exacta. 2. Si \(b^2-4ac< 0\) las raíces son imaginarias y conjugadas en la forma, \(r_1=m+ni\) y \(r_2=m-ni.\)
Al estudiar los números complejos se verán estas formas de soluciones para una ecuación cuadrática y se profundizará más en ellas, por ahora basta recordar que al trabajar en \(\mathbb{R}\) las raíces de números negativos no tienen imagen (no existen). Resolver una ecuación cuadrática es encontrar sus raíces. Los métodos más usados para estos son factorización y fórmulas.
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Ecuaciones cuadráticas. Método de factorización
Como un primer método para la resolución de una ecuación cuadrática se presenta el método de factorización. Este es el más rápido de los métodos de resolución y esta básado en una simple propiedad de un producto igual a cero.
Propiedad de un producto igual a cero
Dado que, si el producto de dos números \(mn=0\) una de las dos cantidades es cero o ambas son ceros, esto es \(mn=0 \Longleftrightarrow m=0 ~~{\rm ó}~~ n=0.\)
Como una ecuación cuadrática es un trinomio o un binomo (si es incompleta) su factorización ha tener una de estás formas siguiente. Formas de factorización para una ecuación de segundo grado.
$$\left\{\begin{array}{l}
x^2+bx+c=0\Longrightarrow(x+h)(x+k)=0~~~~~~~{\rm para}~~hk=c~~{\rm y}~~h+k=b\\
ax^2+bx+c=0\Longrightarrow (ax+h)(ax+k)=0 ~~{\rm donde}~ hk=ac~~y~~h+k=b\\
ax^2-c^2=0\Longrightarrow(\sqrt{a}x+c)(\sqrt{a}x-c)=0~~~~{\rm Diferencia~de~un~binomio.}\\
ax^2+bx=0 \Longrightarrow x(ax+b)=0
\end{array}\right.$$
Resolver una ecuación \(ax^2+bx+c=0\) mediante factorización consiste en factorizar la expresión, igualar a cero ambos factores y despejar la variable.
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Resolución mediante fórmulas.
Método de completar el trinomio cuadrado perfecto \(t.c.p.\)
Para resolver \(ax^2+bx+c=0\) mediante el uso de fórmulas, recuerde el concepto de trinomio cuadrado perfecto y su factorización. Un trinomio \(ax^2+bx+c\) es cuadrado perfecto si el primer y tercer término son positivos y el segundo término es el duplo del producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término.
Para factorizar un t.c.p. basta con determinar las raíces cuadradas del primer y tercer término, separarlas por el signo del segundo y elevar esta suma o diferencia al cuadrado, por ejemplo,
\(x^2-6x+9=\left(x-3\right)^2~~~\) y \(~~~~~25x^2+10\sqrt3x+3=\left(5x+\sqrt3\right)^2\).
Además, para todo valor \(k>0\) se tiene \(\sqrt k=r\) es un número positivo. Teniendo en cuenta estos elementos se tiene el método de resolución para \(ax^2+bx+c\) llamado método del completar el cuadrado (t.c.p.).
Método de completar el cuadrado (t.c.p.) para \(ax^2+bx+c=0\)
1. Comience por escribir \(ax^2+bx+c=0\) en forma mónica.
$$ax^2+bx+c=0\Longrightarrow x^2+\frac{b}ax+\frac{c}a=0$$
2. Simplifique (si es posible) el resultado encontrado y escribiendo como:
$$x^2+Bx+C=0 \ \ \ \ {\rm donde} \frac{b}a=B;\ \ \frac{c}a=C$$
3. En \(x^2+Bx+C=0\) sume y reste \(\left(\frac{B}{2}\right)^2\) para tener un t.c.p. aumentado de la forma
$$x^2+Bx+\left(\frac{B}{2}\right)^2+C-\left(\frac{B}{2}\right)^2=0$$
4. Factorice el t.c.p. formado por los tres primeros términos y simplifique si es posible, el resto del polinomio, como sigue:
$$\left(x+\frac{B}{2}\right)^2-k=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm haciendo}\ \ C-\left(\frac{B}{2}\right)^2=-k$$
5. Despeje \(x\) de la expresión anterior como sigue:
\begin{align}
&\left(x+\frac{B}{2}\right)^2-k=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Expresión~ del~ paso~ anterior.}\\
&\left(x+\frac{B}{2}+r\right)\left(x+\frac{B}{2}-r\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Factorizando\ por\ ser}\ \sqrt k=r\\
&\left\{\begin{array}{l}x+\frac{B}{2}+r=0\Longrightarrow x=-\frac{B}2-r\\x+\frac{B}{2}-r=0 \Longrightarrow x=-\frac{B}2+r\end{array} ~~~~~~~~~~~{\rm Igualando~a~cero~cada~factor.}\right.\end{align}
Ecuaciones cuadráticas. Fórmula general.
Un resultado importantísimo del método de completar el cuadrado es la llamada fórmula cuadrática (también conocida como fórmula general de segundo grado), la cual permite resolver una ecuación cuadrática cualquiera en la forma general \(ax^2+bx+c=0\) donde \(a\), \(b\) y \(c\in\mathbb{R} \land a\neq0\) sin importar la naturaleza de sus coeficientes, lo cual se enuncia como sigue:
Fórmula cuadrática
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
La deducción de la fórmula cuadrática a partir del trinomio \(ax^2+bx+c=0\) y el uso del método de completar el t.c.p. es como sigue.
\begin{align}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Forma~mónica}.\\
x^2+\frac{b}{a}x +\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}&=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Completando\ el\ t.c.p.}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)&=0\ \ \ \ \mathrm{Factorizando~ y~ de~} \left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)&=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Por\ ser}
\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{align}
Factorizando la diferencia de cuadrados del primer miembro:
$$\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ }\right)=0\ \ \ \ \ \ \mathrm{Factorizando.}$$
$$\left\{\begin{array}1x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ }=0\\x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ }=0\end{array}~~~\ \ \ \ \ \ \mathrm{Igualando~a~cero~cada~factor.}\right.$$
$$\left\{\begin{array}1x=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac\ \ }}{\sqrt{4a^2}}\Longrightarrow x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Longrightarrow x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}~~~~ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Despejando}~x\right.$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{ab^2-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Escribiendo\ en\ una\ sola\ expresión.}$$
Uso de la fórmula cuadrática
Al resolver situaciones de ecuaciones cuadráticas mediante el uso de la fórmula general se debe siempre escribir la expresión en la forma general \(ax^2+bx+c=0\) para así poder determinar con precisión los valores de los coeficientes \(a,\ b\) y \(c.\) como se muestra en cada uno de los ejercicios resueltos que se presentan.
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Raíces distintas. Resolver mediante factorización las ecuaciones,
\begin{array}{r l}\textcolor{#ff0080}{1.}~~x^2=11x-10&\textcolor{#ff0080}{2.}~~x^2-11x+28=0\end{array}
Solución 1: escribiendo en forma general \(x^2-11x+10=0\) y aplicando factorización para el trinomio \(x^2-bx+c=(x-h)(x-k)\) donde \(hk=10\) y \(h+k=11\)
\begin{align}
&x^2-11x+10=0\\
&\left(x-10\right)\left(x-1\right)=0
\end{align}
Igualando cada factor a cero se tiene,
$$\left\{\begin{array}{l}
x-10=0\Longleftrightarrow x=10\\
x-1=0\Longleftrightarrow x=1\end{array}\right.$$
Puede comprobar que ambas respuestas satisfacen la ecuación \(x^2-11x+10=0\)
Solución 2: el trinomio dado es de la forma \(x^2-bx+c\) cuya factorización es \(x^2-bx+c=(x-h)(x-k)\) para \(hk=28\) y \(h+k=11\), por tanto,
\begin{align}
&x^2-11x+28=0\\
&(x-7)(x-4)=0\\
&\left\{\begin{array}{l}
x-7=0 \Longrightarrow x=7\\
x-4=0 \Longrightarrow x=4
\end{array}\right.
\end{align}
Simplificando antes de resolver. Resolver mediante factorización las ecuaciones,
\begin{array}{l}
\textcolor{#ff0080}{1.}~~21x+18=-3x^2~~&\textcolor{#ff0080}{2.}~~4x^2+8x+4=0\end{array}
Solución 1: reescribiendo en forma estándar \(3x^2+21x+18=0\) y resolviendo.
\begin{align}
&3x^2+21x+18=0 ~~~~~\mathrm{Forma~estándar}\\
&x^2+7x+6=0~~~~~~~~~~~\mathrm{Simplificando}\\
&\left(x+6\right)\left(x+1\right)=0~~~~~~ \mathrm{Factorizando} x^2+bx+c=0\end{align}
Igualando ahora ambos factores a cero se tiene,
$$\left\{\begin{array}{l}x+6=0\Longleftrightarrow x=-6
\\x+1=0\Longleftrightarrow x=-1\\\end{array}\right.$$Solución 2: la expresión ya está en forma estándar así que,
$$\begin{align}
&4x^2+8x+4=0\\
&x^2+2x+1=0\\
&(x+1)(x+1)=0\\
&\begin{array}{l}x+1=0\Longrightarrow x=-1\\
x+1=0\Longrightarrow x=-1\end{array}
\end{align}$$
Note que las raíces son iguales. Esto siempre pasa cuando se tiene un trinomio cuadrado perfecto t.c.p.
Trinomios \(ax^2+bx+c=0\). Resolver por factorización las ecuaciones,
\begin{array}{l l l l}
\textcolor{#ff0080}{1.}~~10x^2=3-13x&\textcolor{#ff0080}{2.}~~7x^2-19x-6=0\\
\textcolor{#ff0080}{3.}~~27+3x-2x^2=0 &\textcolor{#ff0080}{4.}~~6x^2-x-15\\
\end{array}
Solución 1: escribiendo la forma estándar \(10x^2+13x-3=0\) se obtiene un trinomio \(ax^2+bx-c=0\) el cual se procede a factorizar mediante multiplicación y división.
\begin{align}
&\frac{10(10x^2)+13(10x)-10(3)}{10}=0~~~ {\rm multiplicando~todo~por~10.}\\
&\frac{(10x)^2+13(10x)-30}{10}=0~~~~~~{\rm reescribiendo~}10(10x^2)=(10x)^2\\
&(10x+15)(10x-2)=0~~~~~~~~~~~{\rm traspocisión, ~donde~ 0(10)=0}\end{align}
Resolviendo ahora cada uno de los factores:
$$\left\{\begin{array}{l}
10x+15=0 \Longrightarrow 10x=-15~~ \therefore~~ x=-15/10=-3/2\\
10x-2=0\Longrightarrow 10x=2 ~~\therefore~~ x=2/10=1/5~~~~~~~~~
\end{array}\right.$$
Note de los pasos uno y dos, que es irrelevante dividir la ecuación por el coeficiente \(a=10\) ya que este se simplifica en el segundo miembro. Por lo que no es necesario escribir el valor de \(a\) como denominador para la solución.
Solución 2: como ya está en forma estándar, factorizando \(ax^2-bx+c=0\), como en la solución anterior.
\begin{align}
&\frac{(7x)^2-19(7x)-42}7=0\\
&(7x-h)(7x+k)=7(0)\\
&(7x-21)(7x+2)=0\end{align}
Resolviendo cada factor:
$$\left\{\begin{array}{l l}
7x-21=0 \Longrightarrow x=21/7=3\\
7x+2=0 \Longrightarrow x=-2/7\end{array}\right.$$
Recuerde que es irrelevante dividir la ecuación por el coeficiente \(a=7\) ya que este se simplifica en el segundo miembro, a partir de ahora no se escribirá el valor de \(a\) como denominador.
Solución 3: ordenando para la forma estándar y cambiando signos se tiene,
\begin{align}
&2x^2-3x-27=0~~~~~~~~~~~~~{\rm forma}~ax^2+bx+c\\
&(2x)^2-3(2x)-54=0~~~~~{\rm multiplicando~todo~por~ 2}\\
&(2x-9)(2x+6)=0~~~~~~~~~{\rm factorizando}\\
&\left\{\begin{array}{l l}
2x-9=0 \Longrightarrow x=9/2\\
2x+6=0 \Longrightarrow x=-6/2=-3\\
\end{array}\right.
\end{align}
Solución 4. reescribiendo y factorizando el trinomomio \(ax^2+bx+c=0.\)
\begin{align}
&(6x)^2-1(6x)-90=0~~~~~{\rm reescribiendo}\\
&(6x-10)(6x+9)=0~~~~~~~{\rm factorizando}\\
&\left\{\begin{array}{l l}
6x-10=0 \Longrightarrow 6x=10 ~~\therefore~~ x=5/3\\
6x+9=0 \Longrightarrow 6x=-9 ~~\therefore ~~x=-3/2\\
\end{array}\right.\end{align}
Diferencias de cuadrados. Resolver por factorización las ecuaciones cuadráticas siguientes:
$$\begin{array}{l}
\textcolor{#ff0080}{1.}~~49x^2-3=0~&\textcolor{#ff0080}{2.}~~16x^2-25=0~\\
\textcolor{#ff0080}{3.}~~\frac{x^2}9-121=0~&
\textcolor{#ff0080}{4.}~~\frac{25x^2}{16}-\frac{5}{81}=0~~~~~~~\end{array}$$
Solución 1: las raíces de la ecuación son los valores que la hacen verdadera. \(49x^2-3\) tiene la forma de una diferencia de cuadrados \(u-v=(\sqrt{u}+\sqrt{v})(\sqrt{u}-\sqrt{v})\) de donde las racices se obtienen en la manera,
\begin{align}
&49x^2-3=0\\
&\left(7x+\sqrt3\right)\left(7x-\sqrt3\right)=0\\
&\left\{\begin{array}{l}7x+\sqrt3=0\Longleftrightarrow x=-\frac{\sqrt3}7
\\7x-\sqrt3=0\Longleftrightarrow x=\frac{\sqrt3}7\end{array}\right.\end{align}
Solución 2: note que la expresión \(16x^2-25=0\) es una diferencia de cuadrados cuya forma de factorización es \(u-v=(\sqrt{u}+\sqrt{v})(\sqrt{u}-\sqrt{v})\) de donde se tiene.
\begin{align}
&16x^2-25=(\sqrt{16x^2}+\sqrt{25})(\sqrt{16x^2}-\sqrt{25})=0\\
&16x^2-25=(4x+5)(4x-5)=0\\
&\left\{\begin{array}{l l}
4x+5=0\Longleftrightarrow x=-\frac54\\
4x-5=0\Longleftrightarrow x=\frac54\end{array}\right.\end{align}
Solución 3: factorizando la diferencia de cuadrados, en la forma \(u-v=(\sqrt{u}-\sqrt{v})(\sqrt{u}+\sqrt{v}),\) por comparación se obtiene,
\begin{align}
&\left(\frac{x}{3}-11\right)\left(\frac{x}{3}+11\right)=0\\
&\begin{array}{r l}
\frac{x}{3}-11=0&\frac{x}{3}+11=0\\
x-33=0&x+33=0 \\
x=33&x=-33\\
\end{array}\end{align}
Solución 4: la expresión es una diferencia de cuadrado, de donde,
\begin{align}
&\left(\frac{5x}{4}-\frac{\sqrt5}{9}\right)\left(\frac{5x}{4}+\frac{\sqrt5}{9}\right)=0\\
&\begin{array}{r l}
\frac{5x}{4}-\frac{\sqrt5}{9}=0&\frac{5x}{4}+\frac{\sqrt5}{9}=0\\
36\left(\frac{5x}{4}-\frac{\sqrt5}{9}\right)=0&36\left(\frac{5x}{4}+ \frac{\sqrt5}{9}\right)=0\\
45x-4\sqrt5=0&45x+4\sqrt5=0\\
45x=4\sqrt5&45x=-4\sqrt5\\
x=\frac{4\sqrt5}{45}&x=-\frac{4\sqrt5}{45}
\end{array}
\end{align}
Máximo común divisior. Determinar las raíces de las ecuaciones,
\begin{array}{l} \textcolor{#ff0080}{1.}~x^2=13x~~&\textcolor{#ff0080}{2.} -4x^2=-8x\\
\textcolor{#ff0080}{3.}~~5x^2-55x=0~~&\textcolor{#ff0080}{4.}~~175x^2-1183x=0\end{array}
Solución 1: comience por escribir la forma incompleta como \(ax^2+bx=0\) y luego factorice el factor m.c.d.\begin{align}
&x^2-13x=0\\
&x(x-13)=0\\
&{\rm Igualando~a~cero:}\\
&\left\{\begin{array}i
x=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
x-13=0\Longrightarrow x=-13\end{array}\right.
\end{align}
Solución2: se escribe incompleta \(ax^2+bx=0\) y luego se factoriza el m.c.d.
\begin{align}
&4x^2-8x=0\\
&4x(x-2)=0\\
&\left\{\begin{array}{l}
4x=0~~~\Longrightarrow x=0\\
x-2=0~~~\Longrightarrow x=2~~~~\end{array}\right.
\end{align}
Solución 3: la expresión ya está escrita en la forma \(ax^2+bx=0\) así que se procede a factoriazar la diferencia de un binomio.
\begin{align}
&5x^2-55x=0\\
&5x(x-11)=0\\
&\left\{ \begin{array}{l}
5x=0 \Longrightarrow x=0\\
x-11=0 \Longrightarrow x=11
\end{array}\right.
\end{align}
Solución 4: la expresión dada es una diferencia de un binomio con un factor comun m.c.d. por tanto,
\begin{align}
&175x^2-1183x=0\\
&7x(25x-169)=0\\
&\left\{\begin{array}{l}
7x=0 \Longrightarrow x=0\\
25x-169=0 \Longrightarrow x=169/25
\end{array}\right.\end{align}
Trinomio cuadrado perfecto. Determinar las raíces de la ecuación \(x^2-2\sqrt7x+7=0\)
Solución: note que en trinomio primer y tercer término son positivos y el segundo término \(2\sqrt7x=2\sqrt{x^2}\sqrt7\) por tanto la expresión es t.c.p. de donde,
\begin{align}
&x^2-2\sqrt7x+7=0\\
&\left(x-\sqrt7\right)^2=0\\
&(x-\sqrt7)(x-\sqrt7)=0\\
&\left\{\begin{array}{l}
x-\sqrt7=0\Longrightarrow x_1=\sqrt7\\
x-\sqrt7=0\Longrightarrow x_2=\sqrt7
\end{array}\right.
\end{align}
Lo cual produce dos raíces iguales, como en todos los casos de t.c.p.
Coeficientes fraccionarios: Determinar la raíces de $$\frac{3}{4}x^2-\frac{2}{6}x+\frac{1}{36}=0$$
Solución: comience por multiplicar la expresión por el m.c.ds. para así tener coeficientes enteros (trabajar con entero es más fácil).
\begin{align}
&36\left(\frac{3}{4}x^2-\frac{2}{6}x+\frac{1}{36}=0\right)\\
&27x^2-12x+1=0\\
&(27x)^2-12(27x)+27=0 ~~{\rm Reescribiendo}\\
&(27x-9)(27x-3)=0~~~~~~~~{\rm Factorizando}\\
&\left\{\begin{array}{l}
27x-9=0\Longrightarrow x=9/27=1/3\\
27x-3=0\Longrightarrow x=3/27=1/9
\end{array}\right.\end{align}
Ecuaciones racionales. Resolver las ecuaciones
$$\frac{3}{x-4}+\frac{12}{x-3}=\frac{11}{2}$$
Solución: se inicia por multiplicar la expresión por el mínimo común múltiplo de los denominadores m.c.ds. para quitar las fracciones y luego se resuelve la expresión encontrada.
\begin{align}
&2\left(x-4\right)\left(x-3\right)\left(\frac{3}{x-4}+\frac{12}{x-3}=\frac{11}{2}\right).\\
&6\left(x-3\right)+24\left(x-4\right)=11\left(x-4\right)\left(x-3\right)\\
&6x-18+24x-96=11\left(x^2-3x-4x+12\right)\\
&30x-114=11x^2-33x-44x+132\\
&11x^2-33x-44x-30x+132+114=0\\
&11x^2-107x+246=0\\
&(11x)^2-107(11x)+11(246)=0\\
&(11x-h)(11x-k)=0~~{\rm Para~}hk=11(246)~~{\rm y}~h+k=107\end{align}
Descomponiendo el producto \(11(246)=2706\) en factores primos,
\begin{array}{r |l}
11(246)&\\
\hline 246&11\\
\hline 123&2\\
\hline 41&3
\end{array}
De donde \(11\times2\times3=66\) y \(41\) cumplen las condiciones para \(hk=11(246)\) y \(h+k=107\) y por tanto,
\begin{align}
&(11x-h)(11x-k)=0\\
&(11x-66)(11x-41)=0\\
&\left\{\begin{array}{l}
11x-66=0\Longrightarrow x_1=66/11=6\\
11x-41=0 \Longrightarrow x_2=41/11
\end{array}\right.\end{align}
Ej9.
Solución:
Un sistema de ecuación. Resolver el sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
9x+8y=73~~~\boxed{\textcolor{blue}{1}}\\
3x(2y)=105~~~\boxed{\textcolor{blue}{2}}
\end{array}\right.$$
Solución: despejando \(x\) en \(\boxed{\textcolor{blue}{2}}\) se tiene \(x=105/6y,\) sustituyendo en \(\boxed {\textcolor{blue}{1}}\)
\begin{align}
&9\left(\frac{105}{6y}\right)+8y=73\\
&9(105)+6y(8y)=6y(73)\\
&3(105)+2y(8y)=2y(73)\\
&315+16y^2=146y\\
&16y^2-146y+315=0\\
&(16y)^2-146(16y)+16(315)=0\\
&(16y-h)(16y-k)=0~~{\rm para}~~hk=16(315)~ {\rm y}~h+k=146\end{align}
Descomponiendo en factores primos el prodcuto \(16(315)\)
\begin{array}{r|l}
16(315)&\\
\hline 16&315\\
\hline 5&63\end{array}
De donde las cantidades \(h=80\) y \(k=63\) cumplen las condiciones, por tanto,
\begin{align}
&(16y-80)(16y-63)=0\\
&\left\{\begin{array}{l}
16y-80=0\Longrightarrow y=80/16=5\\
16y-63=0 \Longrightarrow y=63/16
\end{array}\right.\end{align}
Para \(y=5\) como \(x=105/6y\) se tiene,
$$x=\frac{105}{6(5)}=\frac{105}{30}=\frac72$$
Lo cual produce el par \((7/2,5)\) que cumple con el sistema dado.
Para \(y=63/16\),
$$x=\frac{105}{6\left(\frac{63}{16}\right)}=\frac{16(105)}{6(63)}=\frac{280}{63}$$
De donde se tiene el par \(280/63, 63/16\)
Uso del método de completar el cuadrado. Resolver \(10x^2+13x-3=0\) usando el método de completar el t.c.p.
Solución: reescribiendo en forma general como \(3x^2-11x+6=0\) entonces,
$$\begin{align}
&x^2-\frac{11}{3}x+2=0~~~~{\rm Forma ~mónica}\\
&x^2-\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^2+\left(\frac{11}{6}\right)^2-2=0~~~{\rm completando~ el~ t.c.p.}\\
&\left(x-\frac{11}{6}\right)^2+\frac{121}{36}-2=0\\
&\left(x-\frac{11}{6}\right)^2+\frac{49}{36}=0\\
&\left(x-\frac{11}{6}+\frac{7}{6}\right)\left(x-\frac{11}{6}-\frac{7}{6}\right)=0\\
&\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-3\right)=0\\
&\left\{\begin{array}{l}
x-\frac23=0⟹x=\frac23\\
x-3=0⟹x=3\end{array}\right.\end{align}$$
Uso de fórmula general. Coeficientes enteros. Resolver por fórmula general las ecuaciones planteadas.
\begin{array}1
\textcolor{#ff0080}{1.}~~3x^2=11x-6~~& ~~\textcolor{#ff0080}{2.}~~x^2-11x-26=0&
~~\textcolor{#ff0080}{3.}~~2x^2=7x+15\end{array}
Solución 1:
reescribiendo en la forma \(ax^2+bx+c=0\) se tiene \(3x^2-11x+6=0\) por tanto, \(a=3\ \ \ \ \ b=-11\ \ \ \ \ c=6\)
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&x=\frac{-\left(-11\right)\pm\sqrt{\left(-11\right)^2-4\left(3\right)\left(6\right)}}{2\left(3\right)}\\
&x=\frac{11\pm\sqrt{121-72}}{6}=
\frac{11\pm\sqrt{49}}{6}\\
&x=\frac{11\pm7}{6}\ \Longrightarrow \left\{\begin{array}1x_1=\frac{11+7}{6}=\frac{18}{6}=3\\x_2=\frac{11-7}{6}=\frac46=\frac23\end{array}\right.\end{align}
Solución 2: como \(x^2-11x-26=0\) ya está en la forma \(ax^2+bx+c=0\) se puede aplicar la fórmula general directamente.
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=-11,~c=-26\\
&x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^2-4(1)(-26)}}{2(1)}\\
&x=\frac{11\pm\sqrt{121+104}}{2}\\
&x=\frac{11\pm\sqrt{225}}{2}\\
&x=\frac{11\pm15}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
x=\frac{11+15}2=13\\
x=\frac{11-15}2=-2
\end{array}\right.\end{align}
Solución 3: comience por escribir \(2x^2=7x+15\) en la forma \(ax^2+bx+c=0\), luego aplique la fórmula general.
\begin{align}
&2x^2-7x-15=0\\
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=2,~b=-7,~c=-15\\
&x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(2)(-15)}}{2(2)}\\
&x=\frac{7\pm\sqrt{49+120}}{4}\\
&x=\frac{7\pm\sqrt{169}}{4}\\
&x=\frac{7\pm 13}{4}\\
&\left\{\begin{array}1
x=\frac{7+13}{4}=\frac{20}{4}=5\\
x=\frac{7-13}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}\\
\end{array}\right.
\end{align}
Raices irracionales. Resolver cada una de las ecuaciones planteadas, usando la fórmula cuadrática.
$$\begin{align}
&\textcolor{#ff0080}{1.}~x^2-2\sqrt7x+7=0\\
&\textcolor{#ff0080}{2.}~-2x-2=-x^2\\
&\textcolor{#ff0080}{3.}~x^2-4=4x~~~~\\
&\textcolor{#ff0080}{4.}~x^2-2x-22=0
\end{align}$$
Solución 1: para \(x^2-2\sqrt7x+7=0\) se tiene que \(a=1\ \ \ \ b=-2\sqrt7\) y \(c=7\)
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&x=\frac{-\left(-2\sqrt7\right)\pm\sqrt{\left(-2\sqrt7\right)^2-4\left(1\right)\left(7\right)}}{2\left(1\right)}\\
&x=\frac{2\sqrt7\pm\sqrt{\left(4\right)\left(7\right)-28}}{2}\\
&x=\frac{2\sqrt7\pm0}{2}\\
&x=\sqrt7\Longrightarrow \left\{\begin{array}1x_1=\sqrt7\\x_2=\sqrt7\end{array}\right.\end{align}
Tenga cuidado en pensar en por el hecho de que \(2\sqrt7\) es un coeficiente la respuesta debe dar de manera automática \(\pm\sqrt7\) esto es solo porque la expresión dada es un trinomio cuadrado perfecto.
Solución 2: comenzado por escribir en la forma \(ax^2+bx+c=0\) se tiene \(x^2-2x-2=0\) de donde,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=-2,~c=-2\\
&x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-2)}}{2(1)}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4(3)}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4}\sqrt{3}}{2}\\
&x=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
x=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt3\\
x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt3\\
\end{array}\right.
\end{align}
Solución 3: escribiendo ordenado se tiene \(x^2-4x-4=0\) así que aplicando la fórmula cudrática,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=-4,~c=-4\\
&x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(1)(-4)}}{2(1)}\\
&x=\frac{4\pm\sqrt{16+16}}{2}\\
&x=\frac{4\pm\sqrt{32}}{2}\\
&x=\frac{4\pm\sqrt{16(2)}}{2}\\
&x=\frac{4\pm4\sqrt2}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
&x=\frac{4+4\sqrt2}{2}=2+2\sqrt2\\
&x=\frac{4-4\sqrt2}{2}=2-2\sqrt2\\
\end{array}\right.\end{align}
Solución 4: se tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\) para \(a=1;\ \ b=-2\) y \(c=-22,\) por tanto,
\begin{align}
&x=\ \frac{-\left(-2\right)\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(1\right)\left(-22\right)}}{2\left(1\right)}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4+88}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{92}}{2}\\
&x=\frac{2\pm\sqrt{4\left(23\right)}}{2}\\
&x=\frac{2\pm2\sqrt{23}}{2}\\
&x=\frac{2\left(1\pm\sqrt{23}\right)}{2}\\
&x=1\pm\sqrt{23} \Longrightarrow \left\{\begin{array}i
x_1=1+\sqrt{23}\\
x_2=1-\sqrt{23}\end{array}\right.\end{align}
Resolviendo un producto. Determinar los valores de \(x\) que hacen verdadera la expresión \(\left(2x+3\right)\left(7x-2\right)=429\)
Solución: se debe comenzar por escribir la expresión en forma estándar \(ax^2+bx+c=0\) y luego aplicar la fórmula cuadrática.
\begin{align}
&\left(2x+3\right)\left(7x-2\right)=429\\
&2x\left(7x-2\right)+3\left(7x-2\right)=429\\
&14x^2-4x+21x-6-429=0\\
&14x^2+17x-435=0\\
\end{align}
que es la forma \(ax^2+bx+c=0\) de donde,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para} \left\{ \begin{array}1a=14\\b=17\\c=-435\end{array}\right.\\
&x=\frac{-17\pm\sqrt{\left(17\right)^2-4\left(14\right)\left(-435\right)}}{2\left(14\right)}\\
&x=\frac{-17\pm\sqrt{289+24\ 360}}{28}\\
&x=\frac{-17\pm\sqrt{24\ 649}}{28}\\
&x=\frac{-17\pm157}{28}\\
&\left\{\begin{array}1x_1=\frac{-17+157}{28}=\frac{140}{28}=5\\x_2=\frac{-17-157}{28}=-\frac{174}{28}=-\frac{87}{14}\end{array}\right.\end{align}
Trabajando fracciones. Resolver las ecuaciones
$$\textcolor{#ff0080}{1.}~\begin{array}{l}\frac{3}{x-4}+\frac{12}{x-3}=\frac{11}{2}~~~~&\textcolor{#ff0080}{2.}~\frac{3}{4}x^2-\frac{2}{6}x+\frac{1}{36}=0\end{array}$$
Solución 1: comenzando por multiplicar toda la expresión por el mínimo común de los denomidores \(m.c.ds.\) (producto de los denominadores para este caso).
\begin{align}
&2\left(x-4\right)\left(x-3\right)\left(\frac{3}{x-4}+\frac{12}{x-3}=\frac{11}{2}\right)\\
&6\left(x-3\right)+24\left(x-4\right)=11\left(x-4\right)\left(x-3\right)\\
&6x-18+24x-96=11x^2-33x-44x+132\\
&30x-114=11x^2-77x+132\\
&11x^2-77x-30x+132+114=0\\
&11x^2-107x+246=0\\
\end{align}
De donde se tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\) y por tanto,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ {\rm para} \left\{ \begin{array}1a=11\\b=-107\\c=246\end{array}\right.\\
&x=\frac{-\left(-107\right)\pm\sqrt{\left(-107\right)^2-4\left(11\right)\left(246\right)}}{2\left(11\right)}\\
&x=\frac{107\pm\sqrt{11449-10824}}{22}\\
&x=\frac{107\pm\sqrt{625}}{22}\\
&\left\{\begin{array}1x_1=\frac{107+25}{22}=\frac{132}{22}=6\\
x_2= \frac{107-25}{22}=\frac{82}{22}=\frac{41}{11} \end{array}\right.\end{align}
Note que no están permitido para esta ecuación los valoes \(x_1=4\) y \(x_2=3\) ya que provocan división entre cero, la cual no está definida, por lo que los valores encontrados son soluciones.
Solución 2: se debe comenzar por multiplicar toda la expresión por el mínimo común denominador para convertir los coeficientes a números enteros (trabajar con entero es más fácil) de donde se tiene,
\begin{align}
&36\left(\frac{3}{4}x^2-\frac{2}{6}x+\frac{1}{36}=0\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Por\ ser\ 36\ el\ m.c.ds.}\\
&27x^2-12x+1=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Multiplicando}\\
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ a=27\ \ \ \ \ b=-12\ \ \ \ \ \ c=1\\
&x=\frac{-\left(-12\right)\pm\sqrt{\left(-12\right)^2-4\left(27\right)\left(1\right)}}{2\left(27\right)}\\
&x=\frac{12\pm\sqrt{144-108}}{54}\\
&x=\frac{12\pm6}{54}\Longrightarrow \left\{\begin{array}1x_1=\frac{12+6}{54}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3}\\x_2=\frac{12-6}{54}=\frac{6}{54}=\frac19\end{array}\right.\end{align}
Ecuaciones incompletas. Resolver las ecuaciones planteadas.
$$\begin{array}1
\textcolor{#ff0080}{1.}~~x^2-3=0~~~~~~~~~~& \textcolor{#ff0080}{2.}~~5x^2-100=0\\
\end{array}$$
Solución 1: escribiendo \(x^2-3=0\) en forma general se tiene \(x^2+0x-3=0\) de donde,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=0,~c=-3\\
&x=\frac{0\pm\sqrt{0^2-4(1)(-3)}}{2(1)}\\
&x=\frac{\pm\sqrt{12}}{2}\\
&x=\frac{\pm\sqrt{4(3)}}{2}\\
&x=\frac{\pm2\sqrt3}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
x_1=\sqrt3\\
x_2=-\sqrt3\\
\end{array}\right.\end{align}
Esta ecuación es muy fácil de resolver si se usa factorización al aplicar la expresión,
\begin{align}
&m-k=(\sqrt{m}+\sqrt{k})(\sqrt{m}+\sqrt{k})=0\\
&\sqrt{m}=\sqrt{x^2}=x~~~~\sqrt{k}=\sqrt{3}\\
&(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)=0\\
&x_1=-\sqrt3~~~~x_2=\sqrt3
\end{align}
Que es el resultado conocido. Solución 2: simplificando \(5x^2-100=0\) se tiene \(x^2-20=0\), así que aplicando la fórmula cudrática,
\begin{align}
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~{\rm para~}a=1,~b=0,~c=-20\\
&x=\frac{\pm\sqrt{-4(1)(-20)}}{2(1)}\\
&x=\frac{\pm\sqrt{80}}{2}\\
&x=\frac{\pm\sqrt{16(5)}}{2}\\
&x=\frac{\pm4\sqrt5}{2}\\
&\left\{\begin{array}1
&x=2\sqrt5\\
&x=-2\sqrt5\\
\end{array}\right.\end{align}
Note que iguales resultados se obtendria si se usa la fórmula general para \(5x^2+0x-100=0\).
Sin solución en los reales. Resolver la ecuación \(x^2-x+12=0.\)
Solución: la ecuación tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\) para \(a=1\ ;\ \ b=-1\) y \(c=12,\) aplicando la formula cuadrática para estos valores, se tiene.
\begin{align}
&x=\ \frac{-\left(-1\right)\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\left(1\right)\left(12\right)}}{2\left(1\right)}\\
&x=\frac{1\pm\sqrt{1-49}}{2}\\
&x=\frac{1\pm\sqrt{-48}}{2}\end{align}
Como \(\sqrt{-48}\) no está definido en \(\mathbb{R},\) no existe solución para esta ecuación.
Al estudiar los números complejos, se podrá dar solución a situaciones como esta.
Raíces irracionales. Resolver la ecuación \(x^2+37x-36=0\)
Solución: esta es una ecuación pendiente por resolver en el tema de factorización. Aplicando la fórmula general su resolución es como sigue.
$$\begin{align}
&x=\ \frac{-\left(37\right)\pm\sqrt{\left(37\right)^2-4\left(1\right)\left(-36\right)}}{2\left(1\right)}\\
&x=\frac{-37\pm\sqrt{1369+144}}{2}\\
&x=\frac{-37\pm\sqrt{1513}}{2}\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x_1≈0.948\\
x_2≈-37.948\end{array}\right.\end{align}$$
