Ecuaciones cuadráticas.

Definición: Una ecuación cuadrática en forma general es una ecuación de la forma \begin{align}ax^2+bx+c=0\end{align} donde \(a,\ b,\) y \(~c~~\in\mathbb{R} \land\ a\neq0\) si \(a=0\) la ecuación es lineal.
Si \(b=0\) la ecuación se trasforma en \(ax^2+c=0\).
Si \(c=0\) la ecuación se transforma en \(ax^2+bx=0\) y ambas formas son llamadas ecuaciones cuádricas incompletas.

Raíces de una ecuación cuadrática son los valores que hacen la ecuación verdadera. Del teorema fundamental del álgebra se tiene que, toda ecuación cuadrática tiene exactamente dos raíces, las cuales están determinadas por el valor del discriminante de la ecuación, que es la expresión \(b^2-4ac\) representado la letra griega delta \(\Delta\) de deonde la naturaleza de las raíces de la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) es como sigue:
      Si \(b^2-4ac=0\) las raíces son reales e iguales.
      Si \(b^2-4ac>0\) las raíces son reales y distintas.
      Si \(b^2-4ac< 0\) las raíces son complejas conjugadas.

Ejemplo 1. Determinar las naturaleza de la raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas. \(a) \ 2x^2+4x+2 \ \ \ b) \ 2x^2+3x-5 \ \ \ c) \ x^2+x+1.\)
Solución: examinando en cada caso el discriminante \(\Delta=b^2-4ac\) se tiene,
\(a) \ 4^2-4(2)(2)=0\) por tanto, las raíces son reales e iguales (un valor repitido).
\(b) \ 3^2-4(2)(-5)=49\) por tanto, las raíces son reales y distintas.
\(c) \ 1^2-4(1)(1)=-2\) por tanto, las raíces son imaginarias y conjugadas.

Resolver una ecuación cuadrática es encontrar sus raíces. Para este fin, los métodos más usado son factorización y fórmulas, aunque se pueden utilizar también el método gráfico y la regla de Ruffini para algunos casos, sin embargo por su simpicidad factorización y el uso de fórmula son las estrategias más usadas.

Sin embargo, antes de continuar a resolver una ecuación cuadrática se debe analizar tres aspectos más relacionadas a las raíces de \(ax^2+bx+c=0.\)
1. Si \(b^2-4ac\) es un número irracional, las raíces irracionales son conjugadas esto es, si \(r_1=n+\sqrt m\) es raíz, también lo es, \(r_2=n-\sqrt m\) y se dejan expresadas (no intentar convertir a decimal) ya que un número irracional no tiene una representación decimal exacta.
2. Si \(b^2-4ac< 0\) las raíces son imaginarias y conjugadas en la forma, \(r_1=n+mi\) y \(r_2=n-mi.\)
3. Si \(b^2-4ac< 0\) las raíces son imaginarias y conjugadas son de la forma: \(r_1=n+mi\) y \(r_2=n-mi.\)

Para ver la resolución de ecuaciones cuadráticas por cada uno de los distintos métodos, haga clic en el método de su elección.

Resolución por factorización
Resolución completando el cuadrado (t.c.p.)
Resolución por fórmula general

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